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風と平均速度

閑話休題・・・
2008.03.14
頭の体操の続きです。

前回「同じ経路を往復したとき、往きが30km/h、帰りが18km/hならば、トータルの平均速度は22.5km/h」という話をしました。説明するまでもないかもしれませんが、計算方法は以下の通りです。

片道の距離をL(km)とする。

往きにかかった時間= L ÷ 30 (L/30)
帰りにかかった時間= L ÷ 18 (L/18)
トータルの時間= L/30 + L/18
トータルの距離= 2×L (2L)

トータルの平均速度=2L ÷ ( L/30 + L/18 )
         =2L ÷ L(1/30+1/18)
         =2 ÷ (1/30+1/18)
         =2 ÷ ((18+30)/30×18))
         =2 × 30×18 / (18+30)
         =2 × 30 × 18 / 48
         =1080 / 48
         =22.5

ここでちょっとだけ、汎用性を高めてみましょう。

往きの平均速度をV1(km/h)、帰りの平均速度をV2(km/h)とすると、トータルの平均速度 V(km/h)は下の式で表現できます。

V = 2L/(L/V1+L/V2)
 = 2/(1/V1+1/V2)
 = 2×V1×V2/(V1+V2)

さてもう少し遊んでみましょう。行きと帰りの平均速度が違うのは、風が吹いていたからです。往きが追い風、帰りが向かい風です。それでは一定の風が吹いている経路を往復した場合、平均速度は風速によってどのように変化するのでしょうか。

無風状態の平均速度をV0とし、自転車の推進方向と同じベクトルの風速をUとします。まずはV1とV2を、V0とUの計算式で表現できるか試してみます。

問題を簡単にするため、以下の条件を前提とします。
(1)自転車を前進させるための駆動力を一定=Fとする。
(2)転がり抵抗や内部抵抗は無視する。
(3)往復の経路は直線とし、坂もないこととする。
(4)経路は十分に長く、ストップ&ゴーの影響は無視できる。
   つまり平均速度≒巡航速度になると仮定する。

これらの条件を前提とすれば、自転車に働く力としては、駆動力と空気抵抗だけを想定すれば良くなります。空気抵抗の力は、自転車から見た相対的な風速の関数になるはずです。(実際には横風の影響も考えるべきですが、ここでは省略します)

往きで追い風になるとすれば、自転車からみた相対的な風速は、V1-Uとなります。この風が空気抵抗として発揮する力をF1とすると、F1は以下のように表現できます。

F1=α(V1-U)

αは関数を意味します。どのような関数になるのかは、まだわかりません。本来なら風洞実験などを行って確認する必要があります。でも実は、自転車を前進させるための駆動力を一定だとすると、関数の内容がわからなくても大丈夫になります。なぜでしょうか。

まず巡航速度は、以下の条件が成り立つときの速度になります。

F1=F

F1=α(V1-U)を代入すると、次のようになります。

α(V1-U)=F

ここでαの逆関数をβとします。すると上の式は次のようになります。

V1-U=β(F)

もしU=0であれば、V1は無風状態の巡航速度に一致するはずです。つまり

β(F)=V0

となるはずです。

もしそうであれば、V1はV0とUの式で表現できます。

V1=V0+U

式からαが消えてしまいました。追い風を受けたときの巡航速度は、無風状態の巡航速度に風速を足したものになるわけです。まあ、そういわれればそういう気もするのですが。

同様にして向かい風の場合には、巡航速度 V2は以下のようになります。

V2=V0-U

さてこれで、V1とV2をV0とUで表現できることになりました。これらの式を、先ほどの「トータルの平均速度」を求める式に代入してみましょう。

V=2×V1×V2/(V1+V2)
=2×(V0+U)×(V0-U)/ (V0+U + V0-U)
=2×(V0+U)×(V0-U)/ (2×V0)
=(V0^2-U^2)/ V0
=V0 - U^2/V0

※V0^2はV0の二乗を意味しています。

ちょっと面白いな、と思ったのは、これが二次関数になっていることです。風が吹くと平均速度が落ちるな、というのは経験則でわかってはいるのですが、その影響がどのようなものなのかを定量的に計算することはあまりありません。でも状況を単純化してひとつのモデルを作ってみると、その影響がどのようなものなのかがわかります。

V0=24 km/hとすれば、VとUの関係は次のグラフのようになります。

グラフ1


無風状態の時の往復時間に対して、風速Uの時の往復時間がどれだけ増えるのかを計算すると、次のグラフになります。

グラフ2


風速が小さいうちは、あまり影響はないんです。それがある程度まで風が強くなると、その影響がドッと出てくる。よく「強風は自転車にとって大敵である」と言われるのですが、このグラフを見ると「さもありなん」と思います。

面白くありませんか? そうですか。ボクはけっこう、面白いと思うんだけどなあ。
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