自転車
2008.05.01
え〜と、もうずいぶん前のネタですが「風と平均速度」の続きです。木下さんのコメントにもあるように、ギア付きの自転車の場合「F＝一定」という前提は間違っています。今回はそれを補正したロジックを展開しようと思います。2008.05.01
そもそもギア付き自転車では、自転車の駆動力が一定というのは、直感的に考えてもおかしいんです。だって風から受ける力は、向かい風の方が追い風よりも強く感じられるでしょう？ それならば風の抵抗力とバランスしているはずの自転車の駆動力も、向かい風と追い風ではぜんぜん違うはずなのです。
実は私がこのことに気づいたのは、今年に入って自転車乗りを再開してからでした。以前は「向かい風の方が強く感じられるのは、心理的なものなのではないか」と思っていたんです。そういわれると、なんとなくそういう気もするでしょ？ 「向かい風は強く感じられるものだ」なんて、なんだか教訓めいていますよね。
でも最近、ドッペルギャンガーのアクティブスピーカーを付けて、FMラジオやポッドキャストを流しながら走るようにしてから、「向かい風が追い風よりも強く感じられる」のは気のせいではないとはっきりとわかったんです。風を切って走っていると、風切り音のせいでスピーカーからの音が聞こえにくくなりますが、向かい風の時の方が明らかに風切り音が大きい。風切り音が大きいということは、風の強さも強いということですよね。
それでは「F＝一定」ではないとすれば、何が一定なのか。それはパワー、すなわち時間あたりのエネルギー量が一定のはずなんです。ギア付き自転車の一般的な走り方として、ペダルにかける力と回転数（ケイデンス）を一定にする走り方があります。自転車のスピードが遅いときには低いギアで車輪をゆっくり回転させ、スピードが速くなったときには高速ギアへと切り替えていきます。これによって一定の足の力、一定のペダル回転数のまま、スピードをコントロールしているわけです。
ペダルにかける力（モーメント）に時間あたりの回転数（ケイデンス）を掛け合わせれば、パワー（時間あたりのエネルギー）になります。ギアでこのパワーを伝達する場合には、回転数と力は変化しますが、パワーそのものは変わりません（若干の伝達ロスはありますが、ここでは無視します）。モーメントは自転車を前に押し出す駆動力＝Fとなり、回転数は速度＝vになります。つまりこの両者の間には、次の関係が成り立つことになります。
F×v＝P（パワー）＝一定
自転車についているギアは多段変速なので、実際のFとvの関係は、段階的にカクカクと変化します。でもこのような特異点のある方程式は解きにくいので、とりあえず連続的な関係でモデル化しておきます。
次に地面に対して速度vで走る自転車が受ける風の力を考えてみましょう。空気抵抗の力は、一般に速度の2乗に比例します。もし静止状態で向かい風＝w が吹いているとすれば、速度vで走っている自転車にかかる空気抵抗Fは、以下の式で表すことができます。
F＝α（v＋w）^2
このふたつの式を連立方程式として解けば、向かい風wの元での自転車の速度を求められます。つまり向かい風wの時の自転車の速度は、以下のふたつのグラフの交点であるといえるわけです。厳密にいえばこれは終端速度ですが、実際の速度にかなり近いのではないかと思います。
それでは連立方程式を解いていきましょう。
F＝P/v ･･･（1）
F＝α（v＋w）^2･･･（2）
Fを消去すると
α（v＋w）^2＝P/v
すなわち
v^3＋2wv^2＋w^2ｖ−P/α＝0 ･･･（3）
となります。あ〜3次方程式だあ。やっかいですね。
ここでw＝0の時の自転車の速度をv0とします。w＝0、v＝v0を代入すると、P/αをv0で表すことが可能になります。
v0＾3＝P/α ･･･（4）
Pとαの値を決めるのは難しいのですが、無風状態の自転車の速度は走ってみればすぐわかります。そこで（3）の式に（4）を代入して、Pとαを消してしまいましょう。
v^3＋2wv^2＋w^2ｖ−v0^3＝0
最後にこの方程式を、wの値を変えながら解いていけば、vとwの関係が見えてきます。
え〜と、このあたりでチカラ尽きたので、今回はここまでにしておきます。誰かこの3次方程式を解いてくれませんかねえ？ ニュートン・ラプソン法をExcelで地道に解いていけば、答えが出るみたいなのですが･･･（あ〜、面倒だ）。
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